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=======================分割线之间为正文==============================
假设有这样一个方程，y = f(x_1,x_2,p)
其中y为个人战斗力，x_1表示剑法水平，x_2表示内力水平，p为参数向量表示影响个人战斗力的其他因素。
气宗和剑宗都认为，当p为固定值，x_1>x_1',x_2>x_2'的时候，y>y'。
现在我们给出一个约束条件，即x_1+x_2 = C（为了方便理解，我这里没有考虑x_1和x_2的线性系数，或者说假设各自的系数为1）. 这个约束条件的本质就是人生的时间有限，能够修炼得到剑法和内力的总量是恒定的。这时获取最强战斗力的修炼之路变成了一个约束条件下的优化问题。气宗和剑宗的矛盾也由此产生。剑宗认为这个优化问题的全局最优解一定满足x_1>x_2，而气宗则认为最优解在x_1<x_2的区域产生。这就是最原始的“气剑之争”。
后来，二级教授，国务院津贴获得者岳不群先生根据多年的教学经验，对于气剑之争给出了一个定性的评价：
“三十多年前，咱们气宗是少数，剑宗中的师伯、师叔占了大多数。再者，剑宗功夫易于速成，见效极快。大家都练十年，定是剑宗占上风；各练二十年，那是各擅胜场，难分上下；要到二十年之后，练气宗功夫的才渐渐的越来越强；到得三十年时，练剑宗功夫的便再也不能望气宗之项背了。然而要到二十余年之后，才真正分出高下，这二十余年中双方争斗之烈，可想而知。”
这段话可以这样解释，常数C其实是时间t的单调递增函数C(t)。这意味着约束条件x_1+x_2 = C(t) 所代表的线段（因为存在x_1,x_2>=0的隐含条件）由时间t决定。岳不群认为，当t<20, 最优解将出现在x_1>x_2的区域；当t=20，目标函数f分布十分平坦，最优值的优势并不明显；当t>20, 最优解将出现在x_1<x_2的区域。这个观点被称为“岳氏猜想”。
几年后，风清扬和令狐冲对“气剑之争”的约束条件进行了精细化修改。他们认为约束条件x_1+x_2 = C(t)不够准确。应该改写为\alpha x_1(t)+\beta x_2(t) \leq D(t)，其中x_1(t)并不是时间t的线性函数，而可能在某个时间点变成阶跃信号（两天学会独孤九剑），根据金庸群侠传（早年的游戏）设定，x_1(t)的数学形式跟参数向量p中的悟性元素p_i有关。p_i越大，x_1(t)中出现阶跃函数的可能性越大。而x_2(t)则基本近似于线性函数。这一发现，大大改变了人们在求取目标函数最优值方面的搜索策略，人们将这一新的约束条件称为“风冲不等式”。但后来，人们发现，"风冲不等式"并没有卵用，主要是人群中悟性p_i > 85的概率极低，导致函数x_1(t)中出现阶跃信号的概率无限趋近于零（据说令狐冲之后，该小概率事件再也没有发生过。）
与此同时，因为在日月大学的独裁问题被双规的著名数学家任我行教授在狱中提出。风冲不等式中的x_2(t)也可以不为近似线性函数，甚至可以不是时间t的函数。任我行将其改为x_2(k),其中k为整数，表示吸星大法吸取的对象个数。因此内力函数x_2成为一个阶梯函数。这一创造性的论述，又强烈的冲击了目标函数f的寻优策略。任我行的伟大贡献被人们称为“吸星离散化”。然而，人们经过长时间大量的实验证明，引入吸星离散化的概念，会使目标函数f（战斗力）概率性的出现不可导现象（内力不纯而导致即便在其他因素固定的情况下，战斗力y也不是内力水平x_2(t)的单调递增函数，会出现短时波动现象），从而导致基于牛顿梯度法的优化过程的中断；此外，吸星离散化还将导致约束条件中的变量D(t)的定义域范围大大减少，也就是t\leq t_{max},而t_{max}会因为“吸星离散化”而大大降低. 换句话说，练不了几天就走火入魔死翘翘了。所以，人们虽然从理性上接受了“吸星离散化”，但仍确认为这毫无意义，因此又称其为“绝望而疯狂的离散化。”
在全武林的理论学家都在为“气剑之争”这一世界性难题绞尽脑汁的时候，内功传承的大面积消亡却悄然而至，从时代统计规律上看，常数\beta将变成变量\beta(T)（这里我们使用大写的T表示武林发展的时间变量以区别于个人修炼的时间变量t）。事实证明\beta(T)在天龙八部所在的北宋时期开始就呈现单调递减趋势，经历了笑傲江湖所在的明中期，并且在明晚期出现快速下滑的情况。等到了清朝中期，内功系数\beta(T)相对于剑法系数\alpha已经相当小了，所以困扰武林300多年的气剑之争也就失去了实际意义。从此人们开始管武功叫做“把式”！
=======分割线下是附加说明==================
1. 正文最后一段关于内功传承的衰退中有一个非常大的错误，征集答案。有兴趣的同学可以在评论里发表自己的答案。
2.duffy同学在评论中提出一个很好的问题：“请问风冲不等式中alpha和beta两个数的意义是什么，如果仅仅是两个常数的话将其包含在x1和x2两个函数中不就好了”
我们做一个简单的假设，假设剑法学习用时为t_1，内力学习时间为t_2，为了便于说明，我们考虑极限情况（该人完全不浪费一丝时间），则真正的约束是t_1 + t_2 = t，然后假设剑法和内力的学习都是各自学习时间的线性函数，则有：
x_1(t) = \mu_1 t_1 ，x_2(t) = \mu_2 t_2。 如果我们不设线性系数\alpha, \beta，则有：
x_1(t) + x_2(t) = \mu_1t_1 + \mu_2t_2 = \mu_1(t_1+t_2)+(\mu_2-\mu_1)t_2=\mu_1t+(\mu_2-\mu_1)t_2。
你看，最后的结果中包含了一个变量t_2,也就是说，结果不能被简化为单独依赖于时间变量t的函数。如果我们把\alpha,\beta引入后，比如令\alpha = 1/\mu_1,\beta=1/\mu_2，我们就可以想办法消掉\mu_1,\mu_2之间的非对称性，从而使得\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) = t，也就是只依赖于t的函数（当然等比缩放\alpha,\beta可以得到时间t的其他线性函数）。其实这才是我这么写的主要原因。是的，同学们，真正的约束条件不是剑法水平x_1和内力水平x_2的某种线性组合，其实是练习剑法的时间t_1和修行内功的时间t_2
的和必须为t。换句话说，真正的底层变量其实是t_1和t_2，优化问题的最底层自变量的物理意义是时间分配方案，只有这个时间分配方案才是我们真正可以选择和支配的。
那么现在直接回答duffy的问题了。\alpha,\beta有明确的物理意义，他们分别代表剑法修炼和内力修炼在时间成本上的难度系数（我这么一说，上面的问题应该可以迎刃而解了）。之所以不能将\alpha,\beta放入x_1,x_2，是因为x_1,x_2也是有明确物理意义的，他们分别是剑法水平和内力水平；\alpha x_1和\beta x_2也有各自的物理意义，其实就是练习剑法和修炼内功各自的时间成本。
有同学会问，那你干嘛不直接从定义t_1,t_2开始呢？因为我这个回答的逻辑是从战斗力目标函数y = f()开始的，战斗力y显然跟学习时间并没有直接的函数关系，所以从逻辑上我需要先引入中间变量x_1,x_2比较容易被人理解。如果我进一步展开，还要引入t_1,t_2两个变量，会大大降低可读性，所以我就偷懒了。
3. 公布1的答案：
当\beta转为\beta(T)这个定义时，意味着这已经是一个统计概念了，因为T是时代的变量。举个例子，假如我们可以把内功和剑法数值化为从1到100的范围，那么在北宋时期，我们对1000个习武达到20年的武林人士进行采样，分别统计他们的内功数值和剑法数值，然后每个人可以根据风冲不等式的极限情况列出一个方程其中D(t) = t = 20, x_1,x_2可以采样得到，但是\alpha,\beta未知，一千个人就可以得到1000个方程，然后对这一千个方程求最小二乘解（因为方程数多于未知量个数，所以理论上无解析解，但有最小二乘解），可以得到\alpha,\beta的统计估计值。
同样，我们在明朝和清朝也可以用同样的方式采样，建立方程，解方程。这时我们会发现,在清朝解出来的beta比在宋朝解出来的要大（我提的问题的答案浮出水面了）。是的，beta其实变大了，不是变小了，这就是最后彩蛋问题的答案，因为在清朝要想修炼到同样水平的内力所花的平均时间增加了，也就是难度系数beta增加了，而不是减小了。正是因为beta很大，所以要想满足风冲不等式的约束条件，x_2(t)就只能比较小，所以人们的平均内功水平下降了。
其实，我在正文部分，无论是“风冲不等式”，还是“吸星离散化”都隐含了统计的概念。因为，这套理论不是为某一个人设计的，而是为了指导整个武林或者至少是华山派的修炼方针而设计的，要有普适性。风冲不等式之所以没有实际意义，就在于统计上出现阶跃函数的概率太低（就算秘籍放在你面前你也练不成），可以忽略不计；吸星离散化的失败在于我们虽然可以普及吸星大法，但是不能消除吸星大法的负面影响。 |
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发表于 2015-10-17 15:35:59
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